TÉCNICAS DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES Y RESPUESTA DE FRECUENCIA

 

 

OBJETIVOS:

 

1.  MARCO TEÓRICO

Técnicas de las transformadas:

-              Transformada de Laplace con la que se obtiene la función de transferencia y con esta el LGR que se grafica en el plano s.

-              Transformada de Furier para obtener la respuesta de frecuencia que se representa fundamentalmente en el diagrama de Bode.

Estas técnicas de las transformadas se las utiliza para no trabajar en el dominio del tiempo.

1.1        LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES (LGR) 

 

En el lugar geométrico se grafican las raíces de la ecuación característica para todos los valores de un parámetro del sistema, en la mayoría de los casos el parámetro es la ganancia. El LGR es el lugar de los polos en lazo cerrado conforme la ganancia varía de cero a infinito.

 

Mediante el LGR se pueden predecir los efectos que tienen: la ubicación de los polos en lazo cerrado, la variación  del valor de la ganancia o agregar polos y/o ceros en lazo abierto.

 

De la ecuación característica 1+G(s)H(s) =0 tenemos las condiciones de módulo y fase.

 

Condición de módulo:              

 

Condición de fase:                   

 

            Características del LGR

 

-              El LGR consta de ramas que se dirigen de los polos a los ceros, si el número de ceros es menor que el número de polos el lugar geométrico se dirige a los ceros en el infinito a lo largo  de las asíntotas.

-              Existe un punto de partida o llegada sB que es el punto donde el LGR corta con el eje real.

-              El LGR corta con el eje imaginario en Kc (ganancia crítica. La Kc se obtiene del criterio de estabilidad de Routh Hurwitz.

            Para el sistema de la figura 1 cuyo LGR se muestra en la figura 2.

 

 

 

 

 

 


                                              

 

 

 

Figura 1. Sistema realimentado

 

 

Figura 2. Lugar geométrico de la raíces del sistema dado.

 

Aplicaciones

 

-              Análisis de estabilidad.

-              Análisis del comportamiento dinámico utilizando polos dominantes.

-              Diseño de sistemas de control mediante la ubicación de polos y ceros del controlador. Aplicando la condición de módulo se puede determinar la ganancia necesaria para tener una ubicación deseada de polos dentro del lugar geométrico de las raíces.

 

2. TRABAJO PREPARATORIO

 

2.1. – Para la siguiente función de transferencia:

 

      

 

       Dibuje el LGR

       Utilizando el criterio de Routh Hurwitz  encuentre la ganancia crítica y la frecuencia crítica.

 

3.  TRABAJO PRÁCTICO

 

Los comandos más utilizados en matlab para el LGR y RF son:

 

       Lugar geométrico de las raíces.

 

       Los comandos más utilizados en matlab para el LGR son:

 

rltool         Sirve para manipular los polos y ceros en un LGR, se pueden obtener también las gráficas de la respuesta a distintas entradas y los diagramas de Bode, Nyquist y Nichols.

RLTOOL

       rlocus      Se utiliza para graficar el LGR

                        RLOCUS(SYS)

       rlocfind    Determina la ganancia del LGR, para un polo determinado.

                        RLOCFIND(SYS)

 

 

3.1 Encontrar el LGR y la ganancia crítica para las siguientes funciones de transferencia:

 

     3.1.1.-

           

 

     3.1.2.-

 

     3.1.3.-

           

 

     Con el LGR del literal 3.1.1 encuentre la ganancia para la cual se tiene polos dominantes.

 

Y con el LGR del literal 3.1.2 encontrar la ubicación de los polos para Kc.

           

     3.1.4.- Para la siguiente función de transferencia encontrar el LGR utilizando el comando RLTOOL

 

Añadir un polo en el origen y obtener la respuesta en el tiempo.

 

Añadir un cero en el eje real y obtener la respuesta en el tiempo

 

 

 

4. Informe

 

4.1    Presente en una tabla los resultados obtenidos en cada uno los literales del trabajo práctico, y comente estos resultados.

4.2    Compare los resultados del trabajo preparatorio con los del trabajo práctico en los que se utiliza la misma función de transferencia.

4.3    Concusiones y recomendaciones.

 

5.      BIBLIOGRAFIA

 

·      Katsuhiko O. Ingenieria De Control Moderna, Editorial Prentice Hall Internacional, España 1976.

·      Dorf R.  Modern Control Systems, 8th edition, Addison Wesley, 1998.

·      Manuales de MatLab.